Stukje van Kareljan Schoutens, verschenen in het faculteitsblad "Afleiding", nummer 2, maart 1997.

Physics at the Edge

De titel van dit stukje klinkt beter in het engels en is daarom onvertaald gelaten. In letterlijke zin verwijst `edge' naar de rand van een twee-dimensionaal electronengas in een zogenaamde quantum Hall toestand. In figuurlijke zin doelen we op de cutting edge van het onderzoek naar gecorreleerde electronen. Het is namelijk gebleken dat een aantal van de nieuwste theoretische ideeën over het effect van interacties op electronen in experimenten aan randen van quantum Hall systemen direct geverifieerd kan worden. In dit stukje een kort relaas van deze ontwikkelingen.

Gecorreleerde electronen

De eigenschappen van een vrij electronengas zijn in de jaren '20 door Pauli begrepen aan de hand van zijn befaamde uitsluitingsprincipe. We weten echter allemaal dat electronen nooit als vrije deeltjes voorkomen: er is altijd de Coulomb afstoting en meestal vinden interacties plaats met de omgeving (bijv. roostertrillingen of onzuiverheden). Ons begrip van de correlaties die het gevolg zijn van zulke interacties is nog beperkt omdat het domweg niet mogelijk is het gedrag van grote aantallen electronen met interacties door te rekenen. Natuurlijk hebben we in de loop van meer dan 50 jaar wel het één en ander geleerd. Zo weten we dat er situaties zijn waarin het vrije electronengas (met kleine correcties) een redelijke beschrijving geeft (bijv. voor goede metalen). Daar staan tegenover situaties waarin het gedrag radicaal anders is, zoals in supergeleiders en in materialen die door de effecten van interacties isoleren in plaats van geleiden.

In het verleden is verrassend gedrag van electronen met interacties meestal eerst experimenteel gevonden en pas daarna theoretisch begrepen. Eén van de grote uitdagingen voor de `Theorie van de Gecondenseerde Materie' blijft daarom het verbeteren van het theoretisch begrip van gecorreleerde electronen.

Quantum Hall effect

Een bijzonder spectaculair voorbeeld van onconventioneel gedrag van electronen is het quantum Hall effect (qHe). Dit effect treedt op wanneer een twee-dimensionaal electronengas in een sterk transversaal magnetisch veld wordt geplaatst. Fig. 1 geeft experimentele curves voor de diagonale (normale) weerstand rho_{xx} en de Hall weerstand rho_{xy}, als functie van de sterkte van het magnetisch veld. Typerend zijn de plateaus, waarop de Hall weerstand met grote precisie gequantiseerd is op waardes (nu e^2/h)^{-1}. Hierin is e de electronlading, h de constante van Planck en `nu' een geheel getal (1,2, etc: het heeltallige qHe) of een eenvoudige breuk (zoals 1/3, 2/5, etc: het fractionele qHe). In het oorspronkelijke artikel van von Klitzing et al. werden voor nu=1 plateaus gerapporteerd met een precisie van 5 ppm; inmiddels is de precisie opgevoerd tot tenminste 0.01 ppm oftewel 10^{-8}.

Een meting van een plateau-waarde van de Hall weerstand is tevens een precisiemeting van de fijnstructuurconstante

(De waarde van de lichtsnelheid is gedefinieerd als 299 792 458 m/s en mu_0=4 pi*10^{-7} H/m.) Het is opmerkelijk dat deze fundamentele natuurconstante (met de bekende James Bond waarde van alpha ongeveer .007) in een wanordelijk veel-deeltjes systeem met grote precisie gemeten kan worden!

Het theoretisch begrip van de verschijnselen rond het qHe (waarvan de quantisatie van de Hall weerstand er maar één is) berust op een analyse van het effect van wanordelijke onzuiverheden én electron-electron interacties. Quantum Hall systemen bieden een uniek `laboratorium' waarin deze effecten onderzocht en begrepen kunnen worden. Dit programma vormt één van de zwaartepunten van het onderzoek van A.M.M. Pruisken en ondergetekende aan deze faculteit.

In een bekende en nuttige analogie wordt een electronengas in een qHe toestand vergeleken met een `druppel' van een onsamendrukbare vloeistof. Deze analogie maakt meteen duidelijk dat dichtheidsgolven in zo'n systeem noodzakelijkerwijs langs de (één-dimensionale) rand lopen. Meer in het algemeen kan gesteld worden dat bij voldoende lage temperaturen belangrijke fysische processen (zoals ladingstransport) zich effectief afspelen aan de rand van een qHe sample. Op die manier beschikken we dus over een experimentele realisatie van gecorreleerde electronen in één dimensie!

Voordat we de recente experimenten aan qHe randen bespreken eerst iets over de theorie.

Conforme veldentheorie

De theoretische analyse van qHe `randverschijnselen' gebruikt o.a. technieken uit de quantum veldentheorie, om precies te zijn uit de zgn conforme veldentheorie.

Deze conforme veldentheorie is zonder twijfel één van de specialiteiten van de Theoretische Fysica in Nederland. Sinds dit onderwerp in 1984 in zwang raakte is met name vanuit Utrecht en Amsterdam een aantal belangrijke bijdrages geleverd. Het is bekend dat conforme veldentheorie toepassingen heeft in snaartheorie en in de theorie voor kritische verschijnselen. Wat minder bekend is, is dat ook in de Gecondenseerde Materie belangrijke toepassingen liggen. Het is zelfs zo dat op dit moment een aantal van de meest gedetailleerde voorspellingen (zoals die gebaseerd op de Verlinde formule) alleen in de Gecondenseerde Materie arena experimentele betekenis heeft.

Toegepast op qHe randen geeft conforme veldentheorie precieze relaties tussen direkt meetbare grootheden. Met name kan worden berekend hoe tunnelstromen afhangen van de temperatuur en van de aangelegde spanning. De voorspellingen hebben in het algemeen de vorm van machtwetten en wijken (in het fractionele regime) af van de resultaten voor een vrij electronengas. In werk van met name Kane en Fisher is dit alles in detail uitgewerkt.

Experimenten

We zijn nu aangeland bij de jongste geschiedenis van dit onderwerp, waarin theoretische voorspellingen voor qHe randen direct vergeleken zijn met experimentele resultaten. Uiteraard hebben dergelijke experimenten nogal wat voeten in aarde. Om een twee-dimensionaal electronengas te realiseren worden electronen ingevangen in een grenslaag tussen twee halfgeleiders (GaAs en AlGaAs). Vervolgens worden puntcontacten aangebracht waarmee de electronen gestuurd kunnen worden. Het geheel wordt dan in een sterk magnetisch veld gebracht (enkele Tesla's) en bestudeerd bij voldoende lage temperaturen (vanaf enkele mK).

In een experiment van Milliken et al. werd een tunnelstroom tussen twee randen van een rechthoekig nu=1/3 qHe sample gemeten, als functie van de temperatuur en van een aantal stuurparameters (fig.2). Chang et al. gebruikten een systeem waarin electronen vanuit een gewoon metaal naar een nu=1/3 rand kunnen tunnelen. Met name dit laatste experiment heeft het theoretische beeld van de qHe randen duidelijk bevestigd: de gemeten stroom-spanning karakteristiek (fig. 3) stemt in goede benadering overeen met het theoretische resultaat en de temperatuur-afhankelijkheid is eveneens in overeenstemming met de theorie.

Quasi-deeltjes aan de rand

Er is dus nu experimentele bevestiging voor geheel nieuwe electrontoestanden (in het jargon aangeduid als Luttinger Liquids aan de rand van qHe systemen. Wij hebben onlangs voorgesteld om deze specifieke toestanden te beschrijven in termen van quasi-deeltjes. Voor het concrete geval van de rand van een nu=1/3 qHe toestand hebben die quasi-deeltjes lading e/3 en voldoen ze aan een specifieke vorm van `fractionele statistiek' (het zijn dus géén fermionen!). In eerder werk hebben we al aangetoond dat de conforme veldentheorieën voor qHe randen en aanverwante systemen kunnen worden geanalyseerd met behulp van zulke quasi-deeltjes. Op die manier zijn o.a. nooit-vermoede symmetrieën (zoals Yangiaanse quantum groepen!) in conforme veldentheorie aan het licht gekomen. Dat er met quasi-deeltjes voor qHe randen uitstekend gerekend kan worden is al aangetoond door Fendley, Ludwig en Saleur, die m.b.v. quasi-deeltjes een schaalcurve voor de tunnel-geleiding in het Milliken et al. experiment exact hebben berekend.

Tenslotte

De hier geschetste stand van zaken is een momentopname die alweer heel snel verouderd zal zijn. Met een knipoog naar de woordspeling aan het begin van dit stukje mogen we nu reeds concluderen dat de hier besproken `randverschijnselen' een unieke plaats innemen in de studies van gecorreleerde electronen.

Literatuur

Terug naar Boris Skoric's quantum Hall bladzijde.