Index

Pogo (deinen) bij een ligfiets

Minimaliseren van deining
Simulatie pogo
Een intuitieve benadering
Geveerd wiel zonder aandrijving
Geveerd wiel met aandrijving
Totaalkracht op de achteras
Berekening pogo-effect
Grootte van het achtertandwiel
Ideale positie middentandwiel
Naafversnelling
MTB, Squat, Anti-Squat
Gewicht van de rijder
Vering op beide wielen
Pedalkickback
Verband tussen pedalkickback en pogo
Pedalkickback en lengte van de achtervork
Pogo-vrij trappen?
Conclusies
Appendix 1 - Inveren bij auto's
Appendix 2 - Inveren bij motoren
Appendix 3 - Extreme Walter Zorn Modellen

Grafische simulatie's:
Nazca Pioneer met 26-inch-wielen
Quest met 20- en 26-inch-wiel
Nazca Quetzal tandem met 26-inch-wielen en Rohloff-naaf
Challenge Chamsin met 28-inch-wielen en Rohloff-naaf
Azub Max met 26-inch-wielen
Speedliner BlueGlide met 20- en 26-inch-wiel
Giant Reign Mountainbike
Kreuzotter lage racer van Walter Zorn
Ligfiets met voorwiel-aandrijving

E-mail: Gert van de Kraats

Minimaliseren van deining

Op deze pagina wordt een methode uitgewerkt, waarmee voor een ligfiets met achterderailleur of versnellingsnaaf de optimale positie van achtervork en middentandwiel kan worden bepaald, waarbij deining ten gevolge van trapkracht voor alle versnellingen verwaarloosbaar klein is. De methode is gebaseerd op het basisprincipe van de "optimale antisquat diagonaal", dat ook bij het tunen van race-auto's, racemotoren en mountainbikes wordt toegepast.
Voor fietsen, zoals mountainbikes, waar geen middentandwiel aanwezig is, kan deining worden verholpen door het voortandwiel optimaal te positioneren.

De pagina is tot stand gekomen n.a.v. het artikel "Nooit meer zeeziek" van Rembrandt Bakker in Ligfiets& 2004-3. Mijn toenmalige ligfiets, een Speedliner BlueGlide, deinde na vervanging van de veer als nooit te voren en ik was op zoek naar een verklaring hiervoor. Het bewuste artikel gaf een verklaring en een berekening, maar vermeldde ook verwijzingen naar andere afwijkende berekeningen.

Het artikel van Rembrandt Bakker is vergeleken met de anti-dein-formules van Bert Bruynooghe en Kees van Malssen (http://bsimon.port5.com/vering.htm, helaas werkt deze link niet meer) en met de grafische simulatie van Walter Zorn (werkt niet meer, omdat Java niet langer wordt ondersteund door de huidige browsers; dit geldt ook voor het archief van Walter Zorn (werkt niet onder Internet Explorer)). De drie methodes gaven een verschillend resultaat. Bij Walter Zorn ontbraken helaas de formules, waarmee de berekeningen zijn uitgevoerd.

Op deze pagina wordt bij de berekening gebruikgemaakt van de redenering van Bert Bruynooghe en Kees van Malssen. Er wordt uitleg gegeven bij de gebruikte berekening en er wordt aangegeven, hoe verliezen kunnen worden geminimaliseerd.

Op de Amerikaanse WISIL-site worden door Charlie Ollinger berekeningen gemaakt op basis van een model in Unigraphics NX CAD, waarbij dezelfde instellingen, als op deze pagina, optimaal blijken te zijn.

Simulatie pogoEnglish

In een grafisch model kan de lezer experimenteren met de geometrie van de ligfiets.
De geometrie van de ligfiets kan worden aangepast door de onderdelen (ketting, wielen enz.) met de muis te verplaatsen of door de maten (in mm.) in te vullen.
Met behulp van het veld "HubGearRatio" kan de overbrengingsverhouding van een eventuele versnellingsnaaf worden aangepast.
Veld "Pogo" geeft de mate van deining weer. Met de knop "Optimize Pogo", wordt het middentandwiel op de optimale plek gepositioneerd, waarbij deining en het veld "Pogo" minimaal is (0). Indien de "HubGearRatio" ongelijk 1.0 is, dan wordt ten behoeve van de minimale pogo ook de lengte van de achtervork aangepast.
Als kettinglijn en achtervork elkaar snijden binnen de wielbasis, worden de krachten op het frame getoond, die worden veroorzaakt door de trapkracht.
De "rode" pijl toont de som van de kettingkracht en de kracht via de achtervork.
Indien de "HubGearRatio" ongelijk 1.0 is, dan toont de "zwarte" pijl de momentkracht op de achtervork en toont de "magenta" pijl de totale som van de krachten.
Voor de velden "AntiSquat", "SwingArmAntiS" en "ChainAntiS", zie MTB, Squat, Anti-Squat.
Voor de velden "PKickBack...", zie Verband tussen pedalkickback en pogo.

Voorbeelden zijn aangemaakt voor mijn huidige ligfiets de Nazca Pioneer met 26-inch-wielen, de Quest met 20- en 26-inch-wiel, de Nazca Quetzal tandem met 26-inch-wielen en Rohloff-naaf, de Challenge Chamsin met 28-inch-wielen en Rohloff-naaf, de lage racer van Walter Zorn, de Speedliner BlueGlide met 20- en 26-inch-wiel en de Giant Reign Mountainbike.

Een intuitieve benadering

In het blad Ligfiets& 2006-5 is een artikel verschenen, waarin zonder al te veel formule's het principe van de deiningsvrije achtervork-constructie wordt uitgelegd.
Een zelfde redenering kan ook bij voorwielaandrijving worden toegepast.

Geveerd wiel zonder aandrijving

We beginnen met een (lig)fiets met vering op het achterwiel en aandrijving op het voorwiel.

De trapkracht van de fietser veroorzaakt een wrijvingskracht Fd tussen wegdek en voorband, die de fiets naar voren (naar rechts op de tekening) trekt. Deze kracht wordt bij de vooras aan de fiets doorgegeven, en zorgt voor een versnelling van de fiets. De massa van fiets en fietser verzet zich hiertegen, met een kracht die aangrijpt in het massamiddelpunt dat zich ongeveer ter hoogte van de navel van de berijder bevindt. Deze kracht is gelijk aan de wrijvingskracht Fd, maar is tegengesteld gericht.
Het gevolg van deze krachten is, dat het frame zal gaan roteren, waarbij de veer tussen frame en achtervork zal worden ingedrukt. Er ontstaat een extra druk op het achterwiel en een extra reactiekracht Fw van het wegdek op het wiel. Bij het voorwiel zal de druk op de weg verminderen, en dientengevolge zal ook de druk van de weg op het wiel verminderen, hier getekend door een naar beneden gerichte kracht Fw met dezelfde grootte. Het lijkt erop of door de accelleratie het zwaartepunt naar achteren wordt verplaatst. In het engels wordt dit verschijnsel "squat" genoemd.

De krachten Fd op het zwaartepunt en Fw op het achterwiel oefenen een moment uit ten opzichte van het contactpunt van het voorwiel met de weg. Om er voor te zorgen, dat de fiets geen roterende beweging maakt, zou de som van deze momenten nul moeten zijn:
Fd * Hcg + Fw * Lwb = 0, oftewel
Fw = - Fd * Hcg / Lwb ,
waarin Hcg de hoogte van het zwaartepunt en Lwb de lengte van de wielbasis.
De trapkracht van de fietser varieert voortdurend, wat resulteert in een versnelling of vertraging van het zwaartepunt en dientengevolge leidt tot indrukken of uitrekken van de veer. De fiets zal deinen met een frequentie, die tweemaal de trapfrequentie is en er zullen deiningsverliezen zijn in de demper van de veer.
Deining wordt versterkt door:

Samenvattend: een niet aangedreven, geveerd achterwiel zal altijd zorgen voor enige deining van de fiets. Hetzelfde geldt voor een niet aangedreven, geveerd voorwiel, waarbij moet worden opgemerkt, dat dan de veer wordt uitgerekt bij toenemende trapkracht.

Geveerd wiel met aandrijving

We kijken nu naar het gedrag van een ligfiets met achtervering en achteraandrijving.

Ook in deze situatie veroorzaakt de trapkracht de krachten Fd op het zwaartepunt en Fw op het achterwiel, waarbij weer moet gelden, dat de som van de momenten ten opzichte van het contactpunt van het voorwiel met de weg nul moet zijn:
Fd * Hcg + Fw * Lwb = 0.

We zijn nu geinteresserd in het verband tussen de kettingkracht Fc en de aandrijvende kracht Fd. Hieronder is een achterwiel met kettingwiel getekend, waarop via de ketting een kracht Fc wordt uitgeoefend.

Het gevolg van de kracht op de ketting is een kracht in de rijrichting (Fd ) aangrijpend op het contactpunt op de weg. Aangezien het wiel vrij kan draaien, moet de som van de momenten nul zijn:
Fc * rcr = Fd * rwr
waarin rcr de straal van het achterkettingwiel en rwr de straal van het achterwiel.
Omdat het moment van de krachten door het middelpunt nul moet zijn, moet de som van de krachten (Fdc ) door het middelpunt gaan (som van momenten van verschillende krachten = moment van som van krachten). Als we Fdc willen bepalen, kunnen we de vectoren van de krachten Fc en Fd gewoon bij elkaar optellen en laten aangrijpen op de as.

Totaalkracht op de achteras

In onderstaand figuur worden grafisch de kettingkracht Fc, de voortdrijvende kracht Fd en de kracht ten gevolge van massatraagheid Fw bij elkaar opgeteld.

De verhouding tusen de krachten Fd, Fw en Fc ligt (bij een bepaalde versnelling) vast. Ook de richting van de krachten Fd en Fw ligt vast, maar door verplaatsing van het middentandwiel kan wel de richting van de kettingkracht Fc en daarmee de richting van de totaalkracht Ftot worden veranderd. Als er voor gezorgd wordt, dat de richting van de totaalkracht Ftot samenvalt met de achtervork, mag worden verwacht, dat er geen deining of pogo-effect zal zijn.

Berekening pogo-effect

We proberen nu voor een willekeurige hoek van de achtervork, de ideale kettinghoek te bepalen.
We zijn bij de berekening niet geinteresseerd in de totaalkracht, maar in de component hiervan (Fvsa ) die loodrecht staat op de achtervork. Deze kracht zorgt voor het deinen van de achtervork en moet door het veer-element worden verwerkt.

In bovenstaande figuur is hsa de hoek tussen achtervork en de horizontale as, en is hsaC de hoek tussen achtervork (swingarm) en ketting (Chain).
We berekenen Fvsa door van iedere kracht op de achteras de component loodrecht op de achtervork te bepalen en deze krachten bij elkaar op te tellen. Dit leidt tot de formule:
Fvsa = Fc * sin(hsaC ) + Fd * sin(hsa ) - Fw * cos(hsa )
Fvsa = Fc * sin(hsaC ) + Fc * (rcr / rwr ) * sin(hsa ) - Fc * (Hcg / Lwb ) * (rcr / rwr ) * cos(hsa )
Fvsa = Fc * (sin(hsaC ) + (rcr / rwr ) * sin(hsa ) - (Hcg / Lwb ) * (rcr / rwr ) * cos(hsa ))

Het pogo-percentage ten gevolge van de kettingkracht (Fc ) definieren we als:
pogo_percentage_kettingkracht = (Fvsa / Fc ) * 100.

De momenten op de crank (met straal rcl ) en op het voortandwiel (straal rcf ) leveren het verband tussen de trapkracht en de kettingkracht:
Fcl * rcl = Fc * rcf
Fcl = Fc * (rcf / rcl )

Het beoogde pogo-percentage ten gevolge van de trapkracht (Fcl ) definieren we als:
pogo_percentage = (Fvsa / Fcl ) * 100.
pogo_percentage = (Fvsa * (rcl / rcf ) / Fc ) * 100
pogo_percentage = (sin(hsaC ) + (rcr / rwr ) * sin(hsa ) - (Hcg / Lwb ) * (rcr / rwr ) * cos(hsa )) * (rcl / rcf ) * 100

Deze definitie zorgt ervoor, dat bij een positieve waarde van het percentage de achtervork naar beneden wordt bewogen en de fiets omhoog (zoals hierboven getekend).

Grootte van het achtertandwiel

Als in het grafische model het achtertandwiel vergroot wordt, zien we, dat het pogo-percentage verandert. De ideale kettinglijn blijkt afhankelijk van de gekozen versnelling.
Enerzijds nemen de krachten Fd en Fw evenredig toe met de straal van het achtertandtandwiel. De hoek tussen de ketting en de achtervork moet toenemen om dit te compenseren.
Anderzijds wordt bij een groter achtertandwiel deze hoek tussen ketting en achtervork automatisch groter.

In de vorige paragraaf konstateerden we, dat er bij een bepaalde versnelling geen pogo optreedt, als de hoek tussen ketting er achtervork correct wordt gekozen. Dit betekent, dat het middentandwiel op een willekeurige positie aan deze kettinglijn moet raken.
Als we voor een andere grootte van het achtertandwiel een tweede kettinglijn bepalen en het middentandwiel bij het snijpunt aan beide lijnen laten raken, hebben we voor twee verschillende tandwielgroottes een optimale positie.

Deze methode wordt toegepast in de grafische simulatie, als op de knop "Optimize Pogo" wordt gedrukt. Bij een klein achtertandtandwiel wordt als tweede tandwiel 30-tands gebruikt bij de berekening, bij een groot tandwiel is het tweede tandwiel 12-tands. Het middentandwiel wordt vervolgens op de optimale plek gepositioneerd.

De uitkomst van deze bewerking is verrassend.
Niet alleen voor de bij de berekening gebruikte tandwielgroottes is de pogo minimaal, maar ook voor de overige tandwielgroottes.
Bovendien blijkt voor alle type fietsen het snijpunt op of in het verlengde van de achtervork te liggen!!
Het middentandwiel moet raken aan de achtervork of het verlengde ervan.

Deze waarneming kan als volgt worden afgeleid. Als we het raakpunt van het middentandwiel op (het verlengde) van de achtervork positioneren, geldt sin(hsaC) = rcr / L, waarin L de afstand is tussen achteras en middentandwiel. Pogo is afwezig indien Fvsa = 0.
Als we dit invullen in de eerder afgeleide formule voor Fvsa, komen we tot de volgende formule voor de afstand L:
L = rwr / ((Hcg / Lwb ) * cos(hsa ) - sin(hsa ))
We zien dat hierin de variabele rcr voor de grootte van het achtertandwiel ontbreekt. Pogo is afwezig bij iedere achterderailleur versnelling, indien L goed wordt gekozen!

Ideale positie middentandwiel

We kunnen bovenstaande formule voor L ook schrijven als:
Hcg / Lwb = (rwr + L * sin(hsa )) / (L * cos(hsa ))
De hoogte y van het optimale punt voldoet aan de formule:
y = rwr + L *sin(hsa )
De horizontale afstand x tot het kontactpunt van het achterwiel met de weg:
x = L * cos(hsa )
Vullen we x en y in in de eerste formule dan levert dit het resultaat :
y / x = Hcg / Lwb.
Alle optimale punten liggen op de lijn van contactpunt van achterwiel met de weg naar een punt recht boven de vooras, op gelijke hoogte met het zwaartepunt. In de grafische simulatie is deze lijn (de optimale diagonaal) rood weergegeven.
Het snijpunt van deze lijn met (het verlengde van) de achtervork is het optimale punt. Als (het verlengde van) de kettinglijn bij een bepaalde vernelling door dit snijpunt loopt, is er geen pogo bij deze versnelling. Als het middentandwiel (of indien afwezig het voortandwiel) op de juiste wijze raakt aan dit snijpunt, is de instelling voor alle achterderallieur-versnellingen optimaal!!

Als in de grafische simulate de kettinglijn en achtervork elkaar snijden binnen de wielbasis, wordt in het snijpunt de som van ketting en achtervorkkracht op het frame getoond, die wordt veroorzaakt door de trapkracht. In alle gevallen, dus ook bij een niet optimale instelling, loopt het verlengde van de getoonde kracht-pijl door het contactpunt van achterwiel met de weg. De voorwaartse, horizontale kracht is overal aan de voorwaartse kracht Fd bij het contactpunt van achterwiel met de weg. De verticale kracht neemt toe met de hoogte van het snijpunt.

Naafversnelling

Op het eerste gezicht lijkt het elimineren van pogo bij een naafversnelling onmogelijk. De kettinghoek is hier constant en kan dus niet gebruikt worden om de veranderende neerwaartse kracht te compenseren, die het gevolg is van een veranderende voorwaartse kracht bij het kiezen van een andere (naaf)versnelling (zie b.v. paragraaf "Pogo-sticking of a suspended bicycle" op https://www.sheldonbrown.com/twist-internal.html#design ).
Bij naafversnelling is er echter nog een extra kracht in het spel. Bij een naafversnelling is het moment op het achtertandwiel niet gelijk aan het moment op het achterwiel. Het verschil wordt bij de naafversnelling gecompenseerd door een moment op de achtervork (zie b.v. https://www.sheldonbrown.com/twist-internal.html#nuts ).

Dit leidt tot de volgende formules:
Fd = Fc * (rcr / (hubgear * rwr)))
Fw = Fd * (Hcg / Lwb) = Fc * ((Hcg / Lwb) * (rcr / (hubgear * rwr)))
De momenten op het achterwiel, waarin L de lengte van de achtervork weergeeft:
Fhubgear * L = Fc * rcr - Fd * rwr
Fhubgear = Fc * rcr * (1- (1 / hubgear)) / L
We berekenen weer de kracht Fvsa loodrecht op de achteras door van iedere kracht op de achteras de component loodrecht op de achtervork te bepalen en deze krachten bij elkaar op te tellen:
Fvsa = Fc * (sin(hsaC ) + (rcr / (hubgear * rwr)) * sin(hsa ) - (Hcg / Lwb ) * (rcr / (hubgear * rwr)) * cos(hsa ) - rcr * (1- (1 / hubgear)) / L)
Als we het raakpunt van het middentandwiel laten samenvallen met het scharnierpunt van de achtervork geldt sin(hsaC) = rcr / L. Pogo is afwezig indien Fvsa = 0.
Dit leidt voor de lengte van de achtervork tot de formule:
L = rwr / ((Hcg / Lwb ) * cos(hsa ) - sin(hsa ))
We zien dat hierin de variabele hubgear ontbreekt. Pogo is afwezig bij iedere naafversnelling!
Verder is de formule exact hetzelfde als bij de deraillieur-versnelling. Het optimale punt ligt op dezelfde optimale diagonaal als bij de derailleur.

De effecten hiervan zijn zichtbaar in de simulatie door het veld "HubGearRatio" aan te passen. Voor bijvoorbeeld de Nexus 7-speed kan de overbrengingsverhouding varieren van 0.632 tot 1.545. De Rohloff 14 speed varieert van 0.278 tot 1.466. Met de knop "Optimize Pogo", wordt het middentandwiel op de optimale plek gepositioneerd. Indien de "HubGearRatio" ongelijk 1.0 is, dan is een versnellinsnaaf aanwezig en wordt ten behoeve van de minimale pogo ook de lengte van de achtervork aangepast.

Ook bij een versnellingsnaaf is het dus mogelijk pogo voor alle versnellingen te elimineren. De eisen zijn strenger dan bij een derailleur. Het scharnierpunt van de achtervork moet op de optimale diagonaal gepositioneerd zijn en de kettinglijn moet door het scharnierpunt lopen.

Als in de grafische simulatie de kettinglijn en achtervork elkaar snijden binnen de wielbasis, wordt in het snijpunt de som van de ketting en achtervork kracht op het frame getoond, die wordt veroorzaakt door de trapkracht. Bij aanwezigheid van een versnellingsnaaf wordt ook de momentkracht op de achtervork en de totale som van de krachten getoond. In alle gevallen, dus ook bij een niet optimale instelling, loopt het verlengde van de getoonde pijl voor de totale kracht door het contactpunt van achterwiel met de weg. Ook bij aanwezigheid van een versnellingsnaaf is de voorwaartse kracht overal gelijk aan de voorwaartse kracht Fd. De verticale kracht neemt toe met de hoogte van het snijpunt.

MTB, Squat, Anti-Squat

Ook bij mountainbikes is deining een belangrijk onderwerp. Hier gebruikt men de begrippen squat en anti-squat. Men spreekt van 100% anti-squat, als de squat (deining door varierende trapkracht) volledig wordt gecompenseerd door de hoek van de achtervork in combinatie met de trekkracht via de ketting. Dit leidt tot dezelfde optimale positie van het snijpunt tussen kettinglijn en achtervork als op deze webpagina. Al in 2005 is een berekening van antisquat voor mounatinbikes gepubliceerd (zie http://forums.mtbr.com/general-discussion/how-chain-affects-suspension-final-word-120875.html). Voor een meer recente publicatie, zie http://www.ridingfeelsgood.com/suspension-linkage-kinematics-basics-anti-squat-pedal-kickback/.
Het percentage anti-squat van een fiets wordt berekend door de verhouding van de y- en x-coordinaten van het snijpunt te delen door de verhouding van hoogte van het zwaartepunt en de wielbasis. Bij de mountainbike hierboven is dit 111.9%. In de grafische simulatie wordt anti-squat getoond in veld "BikeAntiSquat". 100% anti-squat komt overeen met 0% pogo.

Indien de "HubGearRatio" ongelijk 1.0 is, dan is de bepaling van antisqaut minder eenvoudig. In dat geval moeten de 3 krachten op het frame bij elkaar worden opgeteld en bepaald het aangrijppunt van de totaalkracht de waarde in veld "BikeAntiSquat".

De "Pogo"-waarden zijn niet in alle gevallen in overeenstemming met de "BikeAntiSquat"-waarden. Wie de waarden van "BikeAntiSquat" vergelijkt bij verschillende hoeken van de achtervork en een vaste waarde van "Pogo", ziet dat er grote verschillen zijn, vooral bij een laag scharnierpunt, zoals bij een lage ligfiets gebruikelijk is.
De reden hiervan is, dat bij de berekening van pogo de kracht wordt bepaald, die door de veer moet worden opgebracht om het inveren van de fiets tegen te gaan. Dit is een kracht loodrecht op de achtervork. Als de hoek van de achtervork groot is, hoeft de veer vanwege deze hoek maar een gedeelte van de neerwaartse kracht op te brengen.
Om de verschillen te illustreren, wordt ook het veld "SuspAntiSquat" berekend, dat het percentage weergeeft van de Squat, die bij de veer (Suspension) door de constructie van de fiets wordt gecompenseerd.
Het veld "SuspAntiSquat" wordt nog opgesplitst in de velden "SwingArmAntiS" en "ChainAntiSquat", die de anti-squat weergeven, die wordt veroorzaakt door de achtervork resp. de hoek tussen kettinglijn en achtervork.

Bij de bepaling van antisquat wordt geen rekening gehouden met het feit, dat bij lage versnellingen de voorttdrijvende kracht op het achterwiel veel groter is en dientengevolge ook de deining. Omdat bij de definitie van pogo hier wel rekening mee wordt gehouden, geeft pogo een realistischer beeld van de te verwachten deining.

Bij mountainbikes is er geen middentandwiel, waardoor de kettinglijn sterk varieert, als met het voortandwiel wordt geschakeld. 100% anti-squat voor alle voortandwielen is bij mountainbikes daarom niet mogelijk. Zie de grafische simulatie van de Giant Reign Mountainbike.

Gewicht van de rijder

Zodra een berijder op de ligfiets gaat zitten, zorgt het extra gewicht ervoor, dat de veer verder wordt ingedrukt.
Hoever deze veer wordt ingedrukt, hangt af van de veerconstante, de plaats van de veer op de fiets en van de voorspanning van de veer.
Het gevolg is een verandering van de hoek van de achtervork, de hoogte van het zwaartepunt en de bijbehorende optimale positie van het middentandwiel.
Een makkelijk instelbare voorspanning of een instelbare positie van het middentandwiel zou hiervoor een oplossing kunnen bieden.
Bij het invullen van de hoogte van scharnierpunt en middentandwiel van een bestaande fiets in de grafische simulatie moeten daarom waarden worden gebruikt van de ingeveerde fiets met berijder.

Vering op beide wielen

Eerder is geconstateerd, dat een niet aangedreven, geveerd voorwiel altijd zal zorgen voor enige deining van de fiets, omdat de squat-kracht niet kan worden gecompenseerd door de kettingkracht. Dit behoeft enige aanvulling, indien beide wielen geveerd zijn.
De grafische simulatie laat zien, dat de volledige verticale squat-kracht de voorvork omhoog duwt, als de antisquat op het achterwiel 100% is en de de deining geminimaliseerd is. Het minimaliseren van deining op het achterwiel gaat ten koste van een toename van de deining op het geveerde voorwiel!
Dit probleem lijkt niet door een andere constructie van de fiets op te lossen. Wel kan dit gedeeltelijk via speciale vering worden ondervangen. Bij deze veren is de demping niet constant, maar afhankelijk van de snelheid van inveren. Men spreekt van "high-speed" en "low-speed" demping. De "low-speed"-demping dempt vooral de squat-verschijnselen en wordt daarom zo groot mogelijk gekozen. Grote demping vermindert ook de vermogensverliezen vanwege squat. Zie https://www.sportrider.com/technicalities-suspension-damping#page-4 of https://www.canecreek.com/products/suspension/db-air/twin-tube-technology

Pedalkickback

Pedalkickback is een bekend begrip in de mountainbike-wereld. Als het geveerde achterwiel over een grote oneffenheid rijdt en plotseling inveert, kan dit een terugslag op de trekkende ketting en de pedalen veroorzaken.
Twee effecten zijn hiervoor verantwoordelijk.
Allereerst zorgt het inveren van het achterwiel ervoor, dat de lengte van de wielbasis, verandert. Bij een hoge ligger wordt dan het achterwiel enigszins naar achteren gedrukt; dit zorgt voor een terugslag op de ketting. Bij een lage ligger wordt het wiel naar voren gedrukt, wat extra speling op de ketting veroorzaakt. Dit wordt "PKickBackLow" genoemd in de grafische simulatie.
Tijdens inveren van de achtervork kan ook de kettinglengte van de trekkende ketting veranderen. Als de ketting parallel loopt aan de achtervork is deze lengteverandering nihil. Loopt de ketting vanaf het achtertandwiel omlaag richting achtervork, dan wordt de kettinglengte van de trekkende ketting groter, wat terugslag op de trapper veroorzaakt. Dit wordt "PKickBackHigh" genoemd in de grafische simulatie.

Bij een kettinglijn, die optimaal is voor een minimale deining-effect is bij een ligfiets de terugslag niet dramatisch. Bovendien wordt deze enigszins opgevangen door de veerkracht van de lange ketting.

De grafische simulatie berekent het aantal mm. terugslag op het pedaal, als het achterwiel 20 mm. inveert vanwege een plotselinge oneffenheid in de weg.
Tevens is in een grafiek te zien, hoe groot de pedalkickback is bij een bepaalde uitslag van het achterwiel.

Verband tussen pedalkickback en pogo

Als het zwaartepunt op het wegdek ligt en er dus geen kracht Fw op de achteras drukt, zijn bij een optimale positie van het middentandwiel zowel pogo als pedalkickback gelijk aan nul.
Als het zwaartepunt verhoogd wordt, zien we bij een optimale positie (geen pogo) de pedalkickback langzaam toenemen. Pogo ten gevolge van de massatraagheid van het zwaartepunt kan worden gecompenseerd, maar dit gaat ten koste van een verhoogde pedalkickback.

Bij niet optimale kettinglijnen zien we dat bij toename van pedalkickback ook pogo toeneemt.

Pedalkickback en lengte van de achtervork

Voor een minimale deining moet (het verlengde van) de achtervork raken aan het middentandwiel. De lengte van de achtervork is hierbij niet bepalend en kan dus gevarieerd worden.

Intuitief zou je verwachten, dat bij langere achtervork pedalkickback afneemt, omdat dan een verticale uitwijking maar weinig invloed op de kettinglengte heeft.
Dit komt ook overeen met allerlei mountainbike-constructie's, waarbij men probeert het (vaak virtuele) scharnierpunt zover mogelijk naar voren te plaatsen.
Bovendien is er nog de gedachte, dat het vermijden van deinen/pogo/squat alleen maar mogelijk is ten koste van een bepaalde mate van pedalkickback.

Als men probeert pedalkickback te minimaliseren, probeert men deze voor de gehele veerweg minimaal te houden. Een lange achtervork, de ketting parallel aan de achtervork en middentandwiel recht boven het scharnier zijn hiervoor wenselijk.

Als men daarentegen probeert om pogo te minimaliseren, is er bij de nul-veeruitslag reeds padalkickback aanwezig en is er een hoek tussen ketting en achtervork. Een lange achtervork en een ver naar voren geplaatste middentandwiel zorgt dan bij grote veeruitslagen voor een keurig linear groeiende pedalkickback, maar dat is niet echt wenselijk.
Uit het model blijkt, dat pedalkickback aanzienlijk vermindert bij een kortere achtervork. Zie Swingarm-Short. Dit geldt zowel voor een lage als een hoge ligger.
Onduidelijk is, in hoeverre een korte achtervork onbedoelde negatieve neveneffecten heeft. Zeker is, dat de nul-instelling om "deiningvrij" te rijden behoorlijk kritisch wordt.

Pogo-vrij trappen?

Regelmatig wordt gesuggereerd, dat men zich zou moeten trainen, om "harmonieus, pogo-vrij" rond te trappen, Dit is een fabeltje, zie bijvoorbeeld onderstaande metingen uit The Pedaling Technique of Elite Endurance Cyclists:

Uit deze metingen blijkt, dat een fietser verreweg de meeste kracht levert bij het strekken van het been en dat deze strekkende fase grotendeels verantwoordelijk is voor het geleverde vermogen. In het bovenste en onderste dode punt van de trapbeweging wordt weinig kracht geleverd door de beenspieren. Dit leidt onvermijdelijk tot aanzienlijke pogo-effecten. Pogo-vrij trappen is dus alleen mogelijk, als bij het strekken van het been minder kraccht wordt uitge-oefend. Hierdooer kunnen de beenspieren echter minder trapvermogen leveren en dat kan niet de bedoeling zijn.
Wel worden pogo-effecten verminderd, door met een hoge trapfrequentie (en dus lagere spierkracht) te fietsen.

Conclusies

Het lijkt erop dat een ligfiets met achterderailleur en achtervering er op gemaakt is om deining te elimineren. Voor alle derailleur-versnellingen is er een gemeenschappelijk optimaal snijpunt van kettinglijn en achtervork. Dit snijpunt ligt op de denkbeeldige (rode) lijn, die loopt van kontaktpunt van achterwiel met de weg naar een punt recht boven de vooras, op gelijke hoogte met het zwaartepunt (de optimale diagonaal).
Het middentandwiel moet raken aan dit snijpunt; bij de meeste ligfietsen levert dit een makkelijk realiseerbare positie op.

Ook voor alle naafversnellingen is er hetzelfde gemeenschappelijke optimale snijpunt. Een extra eis is dat het scharnierpunt van de achtervork samenvalt met dit snijpunt. Als het middentandwiel (of indien afwezig het voortandwiel) op de juiste wijze raakt aan dit snijpunt, is de instelling ook voor iedere achterderallieur-versnelling optimaal!

Constructies, waarbij de ketting parallel loopt aan de achtervork, of waarbij de as van het middentandwiel samenvalt met het scharnierpunt, zijn niet optimaal.
Het is niet mogelijk, om pogo-effecten te simuleren op een rollenbank, omdat dan de voorwaartse kracht Fd niet via de achtervork naar het zwaartepunt wordt overgebracht!!

Appendix 1- Inveren bij auto's

Ter illustratie enige uitleg over de vergelijkbare problematiek bij auto's.
Auto's hebben geen last van deining, maar hebben wel last van het inveren van de achtervering bij hard optrekken, In het volgende figuur wordt getoond, hoe de wielophanging van een auto met achterwielaandrijving moet worden geconstrueerd, als men deze invering (squat) wil tegengaan.

In de eerste tekening wordt de invering volledig gecompenseerd. Dit gebeurt als het snijpunt van het verlengde van de poten van de ophanging op de "diagonaal" liggen, Dit is dezelfde optimale diagonaal, die ook bij ligfietsen zou moeten worden gebruikt!!

Een demo-simulatie-programma met vergelijkbare uitkomsten kan worden gedownload van http://www.performancetrends.com/4link.htm. Dit programma is afkomstig uit de drag-race (sprint), waarbij men de auto zelfs laat uitveren bij het accellereren, om extra druk op het achterwiel te krijgen.
Het programma biedt onder andere voor een Chevrolet Camaro de mogelijkheid om de poten van de ophanging te verplaatsen en rekent uit of er invering zal plaatsvinden.

Hoewel er fysiek sprake is van een totaal verschillende constructie, is het basisprincipe hetzelfde. De onderste poot van de ophanging functioneert hierbij als achtervork met een duwende kracht, de bovenste poot functioneert als ketting met een trekkende kracht, die ervoor zorgt, dat het differentieel van de auto niet gaat draaien.
Duidelijk is de hefboomconstructie te herkennen, zoals die geschetst is bij de vierde figuur van de intuitieve benadering.

Appendix 2- Inveren bij motoren

Een voorbeeld van het elimineren van squat is te vinden op http://www.datamc.org/2016/06/14/anti-squat-geometry/. Onderstaand plaatje komt van deze site.

Appendix 3 - Extreme Walter Zorn Modellen

Omdat java niet meer wordt ondersteund door de huidige browsers werkt de grafische simulatie van Walter Zorn helaas niet meer.
Deze appendix bevat nog een aantal extreme modellen, die gebruikt zijn om verschillen met de simulatie van Walter Zorn op te sporen.

De fictieve Kreuzotter Xtreme is geconstrueerd, met zwaartepunt en scharnierpunt op het wegdek en een achtertandwiel, dat even groot is als het achterwiel.
Omdat het zwaartepunt op het wegdek ligt, veroorzaakt de massatraagheid geen neerwaartse kracht Fw op het achterwiel. De kettingkracht Fc staat loodrecht op het wegdek en is exact gelijk aan de voorwaartse aandrijfkracht Fd.
De som van beide krachten valt qua richting samen met de achtervork en levert geen pogo-effect op (geen krachten op de veer).
Opvallend is, dat als het zwaartepunt op het wegdek ligt en de achtervork vanaf de achteras schuin naar beneden loopt, bij iedere hoek van de achtervork de optimale positie van het middentandwiel op het wegdek ligt.

Een tweede fictieve machine is de Kreuzotter Square
Scharnier en kettingwiel bevinden zich hier in het ICR (rotatiepunt van het frame).
Kettingkracht Fc en voorwaartse aandrijfkrachte Fd zijn gelijk en beide horizontaal naar voren gericht. Op de achteras staat de som van beide krachten oftewel twee keer de kettingkracht Fc.
De achtervork drukt achterwaarts met dezelfde kracht. De hoek van de achtervork (hoogte:lengte = 1:2) zorgt voor een benedenwaartse kracht, die de helft van de horizontale kracht is, oftewel 1 keer de kettingkracht. Deze kracht is exact gelijk aan de neerwaartse kracht t.g.v. de massatraagheid.
Bij het scharnierpunt drukt de achtervork naar voren met 2 keer de kettingkracht en omhoog met 1 keer de kettingkracht. De ketting trekt met 1 keer de kettingkracht.
De som van beide krachten is 1 keer de kettingkracht naar voren (de verwachte aandrijfkracht) en 1 keer de kettingkracht omhoog (veroorzaakt door massatraagheid).
De voorwaartse kracht gaat door het zwaartepunt en geeft geen rotatie op het frame, de opwaartse kracht gaat door de vooras en kan ook geen rotatie veroorzaken.